Abel's summation formula
아벨의 합 공식은 아벨이 개발한 공식이다. 주로 정수론에서 사용되며 부분적분의 이산적 형태라고 할 수 있다.
목차
1. 진술
2. 증명
a(n)이
수론적 함수이고
f가 미분가능한 함수라고 하자.
\displaystyle A(x)=\sum_{n\le x} a(n)일 때
\sum_{x<n\le y} a(n)f(n) = A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y A(t)f'(t)dt
가 성립한다.
리만-스틸체스 적분을 사용하면 정말 간단하다. 직접 해보기를 바란다. 사용하지 않으면 다음과 같다.
\begin{aligned}\sum_{y<n \leq x} a(n)f(n) &= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} (A(n)-A(n-1))f(n) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]} A(n)f(n)-\sum_{n=[y]}^{[x]-1} A(n)f(n+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(f(n)-f(n+1)) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= \sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} A(n)(-\int_{n}^{n+1} f’(t)\ dt) +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\sum_{n=[y]+1}^{[x]-1} \int_{n}^{n+1} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= -\int_{[y]+1}^{[x]} A(t)f’(t)\ dt +A([x])f([x])-A([y])f([y]+1) \\&= A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int_y^x A(t)f’(t)\ dt\end{aligned}
